美国股市行情虽然英国的牛顿和德国阿基米德正在公元前 3 世纪就咨询了用于筹算面积的积分，牛顿和莱布尼茨正在 17 世纪才念出微分的手段。二者中心相差了1800年以上的光阴。

　　简直通盘的大学数学教科书都先解释微分后再引入其逆运算—未必积分。况且，用于筹算面积的定积分被界说为未必积分的差。固然遵从上述依次有逻辑地教练数学当然合乎情理，但史籍上的发扬依次恰恰相反。阿基米德正在公元前3世纪就咨询了用于筹算面积的积分，牛顿和莱布尼茨正在 17 世纪才念出微分的手段。二者中心相差了1800年以上的光阴。

　　正在史籍上积分先被创造，这此中生计必定理由。积分与面积、体积等完全量的筹算有着直接的相合。别的，咨询微分前，最初必需正确地分析无尽小和极限等观念。比如物体运动的速率需求通过微分界说，但是由于正在古希腊工夫并没有确定极限的观念，因此闪现了芝诺的“飞矢不动”悖论。

　　我以为正在练习庞大的微分前，最好仍是无误掌管从直觉上相对容易分析的积分，再来考虑其逆运算微分。于是，先阐明积分。不管你是正在大学的微积分课上听得不明不白，仍是正正在希图发轫练习微积分，都可能试着“先从积分发轫”。

　　积分是从筹算图形面积发轫的。面积的单元征求平方米、平方千米等，即都带有“平方”二字。边长为1米的正方形面积等于1平方米。也便是说，面积是以正方形行为单元，筹算图形的面积相当于几个正方形。若是是长方形，该何如筹算面积呢？正在小学阶段，咱们就学过长方形的面积是长和宽的乘积，但是目前咱们先伪装没有学过这个筹算公式。

　　假设已知长方形宽 1 米，长 2 米，那么竖着从正中心将长方形分成两个局部，就获得两个边长为 1 米的正方形，因此长方形的面积就等于 2 平方米。也便是说，长和宽的乘积等于长方形的面积。

　　接下来再假设 n 和 m 均为自然数，已知长方形宽 n 米，长 m 米，那么只消宽被均分成 n 局部，长度被均分成 m 局部，就能获得 n × m个边长为 1 米的正方形（图 7-2）。该长方形的面积正好等于正方形面积的 n × m 倍，即 n × m 平方米。结果仍是等于长和宽的乘积。

　　纵然长和宽的值是分数，只消行使近似值，就能阴谋出等于整数的长方形面积，其面积照旧等于长和宽的乘积。别的，只消推敲到极限，纵然长和宽的值是形似（根号2）的无理数，也能用长和宽的乘积来筹算面积。

　　咱们正在小学还学过三角形的面积等于“底乘以高除以 2”。如图 7-3 所示，若是将三角形的面积扩充一倍，那么就等于长方形的面积。

　　不光是长方形和三角形，只若是折线围成的图形，不管是什么式样，古希腊人都能寻得其面积与三角形面积的相合。正如图 7-4 所示，折线围成的图形纵然是犯法则的图形，也能用三角形聚集来外现，因此只消筹算出通盘三角形的面积，将筹算结果相加就能获得该图形的总面积。

　　目前咱们曾经懂得，只若是折线围成的图形，就能将其支解成三角形后再筹算面积。那么，若是是滑润弧线围成的图形，比如扔物线和圆等，其面积又该何如筹算呢？合于这个题目，咱们赶忙就能念到将弧线 所示。因此求弧线围成的图形面积时，只消筹算折线图形的近似面积即可。

　　固然这个念法不错，但是由于近似老是带有差错，因此有须要估算差错的巨细。若是可能的线。这个岁月，咱们先来阐明阿基米德咨询出来的“手段”。

　　如图 7-6 所示，假设已知弧线围成的图形 A，最初正在图形A 中画出折线围成的图形 B。然后再画出一个围正在图形 A 外侧的图形 C。上述三个图形之间修树一个不等式，即面积 (B) ≤面 积 (A) ≤ 面 积 (C)。我 们 当前无法无误筹算出图形 A 的面积，但是图形 A 的面积大于图形 B 的面积（由于是折线图形，因此可能筹算），同时小于图形 C 的面积（由于也是折线图形，因此可能筹算）。于是，咱们就得出折线图形的近似差错。

　　但是，奈何才华将差错降至 0 呢？阿基米德念到的手段是不光限于一组折线图形 B 和 C，而是如图 77 所示的那样扩充极点数目，使得折线图形不停亲密弧线图形 A。于是，这些折线图形可能记作

　　正在每一组图形中，图形 A 蕴涵图形 Bn，同时又被图形 Cn所蕴涵。那么，

　　图形组(Bn、Cn)的数值越大，近似值就越正确。近似值越正确就代外图形Bn和图形Cn的面积越亲密图形A的面积。但是，咱们并不懂得图形A的面积有众大。那么咱们又何如能确保折线图形的面积会不停亲密未知的面积呢？

　　的值会不停变小。因此当 n 是无尽大时，上述公式的差将等于 0。由于图形 A 的面积介于面积 (Bn) 和面积 (Cn) 之间，因此两者均到达极限时的值该当便是图形 A 的面积。传说阿基米德通过鉴戒公元前 4 世纪的数学家欧众克索斯的表面，从而咨询出了上述手段。由于阿基米德用上述手段得胜管理了几何学上的很众题目，因此该手段被称作“阿基米德的夹逼定理”。

　　接下来咱们举例解释何如筹算圆的面积。如图 77 所示，(B1、C1) 是正方形，(B2、C2) 是正八边形，可能推度 (B3、C3) 是正十六边形，那么 (Bn、Cn) 便是正边形。行使 (Bn、Cn) 近似圆的面积。

　　用维系圆心和极点的直线可能将图形 Bn 和图形 Cn 支解成三角形聚集。咱们可能创造，n 的值每增大 1，两者的面积差

　　就会减小至一半以下。n的值越大，差错就按次减半，越来越小。于是，当n是无尽大时，面积(Cn)和面积(Bn)的值正好相称，况且这个值就等于圆的面积。这便是阿基米德筹算圆的面积的手段。

　　行使阿基米德的夹逼定理，能筹算更庞大的弧线图形的面积。用笛卡儿坐标外现的线所示，直线可能外现为y=ax+b，扔物线外现为

　　f(x)，那么咱们来考虑一下弧线y=f(x)。如图7-9所 示，假 设 正在 区 间a≤x≤b上f(x)的值永远大于0，那么咱们来咨询一下弧线y=f(x)和y= 0、x=a、x=b这三条直线围成的图形A（图中的暗影局部）。若是懂得何如筹算图形A的面积，就能通过拼组的手段筹算任何弧线围成的图形面积。

　　弧线y=f(x)沿着y轴偏向上升或低落。为了便于筹算，假设正在区间a≤x≤b上，y=f(x)无间正在增大。正在其他情状下，将区间a≤b分成两局部，即f(x)不停增大的区间和f(x)不停减小的区间。只消将以下手段不同代入上述两个区间即可。

　　为了用阿基米德的夹逼定理来筹算图形A的面积，最初将区间a≤x≤b分成n局部，如图710中的图形Bn和Cn。图形A蕴涵图形Bn，同时被蕴涵正在图形Cn中。图形Bn和Cn均是长方形聚集，因此可能筹算出头积。

　　ε= (b−a)/n、高= (f(b)−f(a))的长方形的面积。n的值越大，ε的值就越小，于是图形Bn和图形Cn的面积就越亲密。当ε的值到达极限即等于0时，两个图形的面积相称。到达极限时的值也便是图形A的面积。

　　因此称作“黎曼积分”。本来积分征求很众类，比如法邦数学家亨利 ·勒贝格提出的“勒贝格积分”、日本数学家伊藤清提出的“伊藤积分”等。黎曼积分足以打点咱们正在高中所学的函数题目，但是当咱们需求打点形似股票价值等随机摇动的数值时，则需求用到伊藤积分。伊藤积分还被用于决按期权的价值， 于是伊藤清被以为是“正在华尔街最出名的日自己”。

　　各类积分。最初， 若是求一次函数 y = x 正在区间 x = 0 到 x = a 上的积分， 结果会何如？如图 7- 12所示， 这是一个底为 a、高为 a 的直角三角形的面积， 因此该当等于 a2/2 。接下来咱们来验算一下。此 时，图 形 Cn 是 底 长 为ε = a/u、高为 ε,2ε , ··· 的长方形聚集，那么

　　等式右边第 1 个方括号中的第 1 项是 n，第 2 个方括号中的第 1 项是 1，

　　n 的值越大，括号中的 1/n 的值就越能疏忽。于是当 n 为无尽大时，面积就等于

　　正在区间x= 0到x=a上的面积也行使统一个手段，但是细致阐明起来筹算流程有点长。阿基米德正在公元前3世纪就创造了二次函数的积分公式，于是不阐明又太惋惜了。那么我就简短地阐明一下。正在二次函数y=x2的情状下，图形Cn是底长为ε=a/n、高为ε2, (2ε)2,···的长方形聚集，即此处闪现的和可能筹算为

　　刻 t 地方的名望记作 x(t)，从时间 t 到 t′ 的区间内只挪动了 (x(t′) −x(t))。挪动时的均匀速率等于 (x(t′) − x(t)) ÷ (t′− t)。于是，若是 t′不停向 t 逼近，那么正在极限 t′= t 时该当可能筹算出时间 t 的速率。但是，由于正在极限的情状下 x(t′) − x(t) 和 t′− t 的结果均等于 0，因此若是筹算 0 ÷ 0，那么筹算流程就变得无缘无故。筹算时需求留心。假设 x(t) = t，那么

　　上述公式中的分子和分母抵消了 (t′− t)。抵消后，假设 t′= t，那么速

　　等式右边的符号 lim 是“limit”（极限）的兴味。固然英邦的牛顿和德邦

　　激发悖论。若是先假设分子 x(t′) − x(t) 等于 0，那么上述算式便是0÷ (t′− t)，之后不管分母 (t′− t) 的值众小，算式都等于 0。这便是“飞矢不动”的根蒂寓意。也便是说，芝诺的悖论错正在打点极限的手段。不是要独自考虑分子和分母的极限，而是将 (x(t′) − x(t)) ÷ (t′− t) 的分子和分母算作一个全部，对其筹算 t′→ t 的极限，“霎时的速率”才具居心义。从芝诺的时间到牛顿和莱布尼茨真正分析此中寓意，中心大约相隔了 2100 年的光阴。

　　微分是积分的逆运算微分是积分的逆运算，这是牛顿和莱布尼茨最紧张的创造之一。

　　假设图形 A 是弧线 y = f(x) 下面的区间 0 ≤ x ≤ b。将该区间分成两局部，

　　为了筹算微分，使 a′的值不停变小并趋近 a，那么正在短区间 axa′

　　指数函数的微分与积分与积分比拟，微分是更高级的数学观念，更需求留心打点极限的

　　假设等式右边的 x′− x = ε，那么 x′→ x 的极限等于 ε → 0。因此

　　合于三角函数 sin x、cos x 和 tan x，积分也能行为微分的逆运算